Una extraña belleza

¿Es posible encontrar hermosa una ecuación matemática o una teoría física?
Por Gabriel Ferrero

Se dice que en cierta oportunidad alguien le preguntó a Einstein qué pensaría si se descubriera que la teoría general de la relatividad —una de sus grandes contribuciones a la ciencia— no era correcta. Parece que el gran físico respondió que en ese caso “Dios se perdió la ocasión de hacer algo muy hermoso”. Evidentemente no tenía problemas de autoestima. Pero aún más llamativo puede resultar ese adjetivo, “hermoso”.

Muchas personas, entre ellas legiones de estudiantes de secundaria, suelen preguntarse cómo a alguien le pueden gustar y aún considerar hermosas las ecuaciones matemáticas o las teorías de la física. Sin embargo, curiosamente, es bastante común escuchar a un matemático decir que un teorema tiene una demostración “muy elegante”, o a un físico elogiar la “belleza” de una teoría. Yo mismo en varias ocasiones he desechado la solución que había encontrado para un problema físico-matemático porque me parecía “fea”.

¿Qué es lo que se esconde detrás de semejantes afirmaciones? Tal vez para comprendernos sea útil un ejemplo. A continuación reproduzco las ecuaciones de Maxwell (1) para el campo electromagnético (2). Sé que probablemente muchos lectores habrán saltado esta página ante la sola vista de semejantes fórmulas, pero si llegó hasta aquí y no estudió física, le diré un secreto que aprendí leyendo a Penrose (3): no se preocupe por entenderlas. Ni siquiera los físicos estamos muy seguros de qué es lo que realmente representan.

Notemos algo que tal vez no es evidente a primera vista: su simplicidad. Son solamente cuatro ecuaciones y contienen únicamente doce símbolos, de los cuales ocho representan operaciones matemáticas y cuatro, magnitudes físicas. Por ejemplo, “t” representa el tiempo.

Lo impresionante es que estas ecuaciones son suficientes para describir, explicar y predecir una enorme cantidad de fenómenos, entre otros, la luz, la radiación ultravioleta, la infrarroja, los rayos X, las ondas de radio, y la forma en que cada una de estas se propaga por el espacio, a través del tiempo, por todo el universo. Con algún término adicional, estas ecuaciones también permiten inventar, diseñar y construir muchas cosas muy útiles: motores eléctricos, antenas, parlantes, micrófonos, emisores y receptores de radio, vidrios polarizados, hornos de microondas, películas 3D, etcétera. La lista es probablemente interminable.

Usando sólo doce símbolos, ordenados en cuatro ecuaciones, comprendemos innumerables fenómenos... ¿No es algo maravilloso? ¡Se trata de una síntesis magnífica! Y si pensamos en la variedad, la complejidad y la extensión de lo que representan podemos entender, en parte, por qué decimos que las ecuaciones son muy simples.

Ciertamente es necesario estudiar un poco, tal vez bastante, para entenderlas, pero todos podemos ver que son muy breves, concisas y contienen un número limitado y realmente pequeño de operaciones. También en eso está su simplicidad.

Por otra parte, observemos la primera y la tercera ecuación. Podemos ver que si intercambiamos el símbolo E, que representa al campo eléctrico, con B, que representa al campo magnético, las ecuaciones son iguales. De la misma manera, la segunda y la cuarta son muy parecidas. Por eso decimos que hay una cierta simetría en las ecuaciones. Al intercambiar algunos símbolos, las ecuaciones se transforman unas en otras, total o parcialmente, pero siempre tenemos, casi, el mismo conjunto de ecuaciones.

Esa simetría de las ecuaciones expresa algo muy profundo acerca de la naturaleza de la electricidad y el magnetismo. En cierto sentido, cada uno de estos fenómenos es una consecuencia del otro. Se puede decir que expresan algo, una propiedad fundamental de la materia, que se manifiesta con formas muy distintas pero simétricas. También por eso decimos que son ecuaciones hermosas. Simplicidad y simetría: dos atributos que hacen a lo que llamamos belleza.

Hace algunos meses un colega me mostró un artículo científico que acababa de escribir. En él describía con un altísimo nivel de detalle y precisión el comportamiento de un electrón dentro de cierta molécula bajo ciertas condiciones (4). Las ecuaciones correspondientes ocupaban varias páginas pobladas de símbolos bastante difíciles de entender. Confieso que no pude evitar decirle: ¡qué hermoso!

Existe también una belleza en la complejidad, cuando no hay simplicidad ni simetrías tan evidentes. Para escribir esa ecuación mi amigo tuvo que encontrar la manera de expresar matemáticamente, clara y de manera explícita, las relaciones de cada electrón con varios núcleos atómicos, con otros electrones, con otras moléculas, con los campos eléctricos y magnéticos presentes en la materia... en fin, un gran número de relaciones. Creo que la belleza que percibimos en los fenómenos complejos tiene que ver con la belleza de la relacionalidad, con algo profundamente constitutivo de lo real, de aquello que existe.

Todo, desde los niveles más básicos y elementales de la materia, existe en relación, está en relación; más aún, cada cosa llega a ser sí misma sólo en relación con otras. Tal vez sea ésta la belleza más típica de nuestro tiempo

(1) James C. Maxwell, físico escocés (1831-1879).
(2) En realidad, esta es su formulación en el espacio vacío, esto es, en una región del espacio en la cual no hay cargas ni corrientes eléctricas. Se trata de un caso especial, pero resulta válido en muchas circunstancias.
(3) Sir Roger Penrose, matemático y físico inglés contemporáneo, nacido en 1931.
(4) cf. AUCAR, G. ET AL. (2010), “Polarization propagators…”, IRPC, 29: 1, 1 – 64.
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Gabriel Ferrero. Artículo publicado en revista Ciudad Nueva, www.ciudadnueva.org.ar